Ilustración grafica de problemas de programación no lineal

Cuando un problema de programación no lineal tiene sólo una o dos variables, se puede representar

Gráficamente, una representación gráfica de este tipo proporciona una visión global de las propiedades de las soluciones óptimas de programación lineal y no lineal.

La figura 13.5 muestra lo que ocurre con este problema si los únicos cambios que se hacen

al modelo de la sección 3.1 son que la segunda y tercera restricciones funcionales se sustituyen

por la restricción no lineal 9x{ + 5x2 < 216.

La solución

óptima sigue siendo (x1 , x2) = (2,6). Todavía se encuentra sobre la frontera de la región

factible, pero no es una solución factible en un vértice (FEV). La solución óptima pudo haber

sido una solución FEV con una función objetivo diferente, pero que

no necesite serlo significa que ya no se puede aprovechar la gran simplificación utilizada

en programación lineal que permite limitar la búsqueda de una solución óptima para las soluciones

FEV.

si

Z= 126X1-9X1^2 +182X2-13X2^2,

entonces la representación gráfica en la figura 3.1 indica que la solución óptima es x1=8/3

x2 = 5, que de nuevo se encuentra en la frontera de la región factible. (El valor óptimo de Z es

Z = 857; así, la figura 13.6 muestra el hecho de que el lugar geométrico de todos los puntos

para los que Z = 857 tiene en común con la región factible sólo este punto, mientras que el lugar

geométrico de los puntos con Z más grande no toca la región factible en ningún punto.)

Por otro lado, si

Z= 5 4 x1 – 9×1^2 + 78X2 – 1 3 x2^2

entonces la figura 3.3 ilustra que la solución óptima es (x1,x2 ) = (3,3), que se encuentra

dentro de la frontera de la región factible. (Se puede comprobar que esta solución es óptima si

se usa cálculo para derivarla como un máximo global no restringido; como también satisface

las restricciones, debe ser óptima para el problema restringido.) Por lo tanto, es necesario que

un algoritmo general para resolver problemas de este tipo tome en cuenta todas las soluciones

en la región factible, y no sólo aquellas que están sobre la frontera.

Otra complicación que surge en programación no lineal es que un máximo local no necesariamente

es un máximoglobal (la solución óptima global). Por ejemplo, considere la función

de una sola variable graficada en la figura 3.3. En el intervalo 0 < x < 5, esta función

tiene tres máximos locales — x=0^x=2,x=4—pero sólo uno de éstos—x - 4—es un ximo

global. (De igual manera, existen mínimos locales en x = 1,3 y 5, pero sólo x = 5 es un mínimo

global.)

. Recuerde que en cálculo, cuando se maximiza una función

ordinaria (doblemente diferenciable) de una sola variable f(x) sin restricciones, esta garantía

está dada cuando

d^2f/ dx^2f≤0 para toda x.

Una función de este tipo cuya curvatura siempre es “hacia abajo” (o que no tiene curvatura)

se llama función cóncava.De igual manera, si se sustituye ≤ por ≥, de manera que la función

tiene siempre una curvatura “hacia arriba” (o no tiene curvatura), se llama función convexa.

(Así, una función lineal es tanto cóncava como convexa.)

Las funciones de variables múltiples también se pueden caracterizar como cóncavas o

convexas si su curvatura es siempre hacia abajo o hacia arriba. Estas definiciones intuitivas se

fundamentan en términos precisos que, junto con cierta profundización en los conceptos,

se presentan en el apéndice 2. El apéndice 2 proporciona una prueba conveniente para verificar

si una función de dos variables es cóncava, convexa o ninguna de las dos.

Las funciones de variables múltiples también se pueden caracterizar como cóncavas o

convexas si su curvatura es siempre hacia abajo o hacia arriba. Estas definiciones intuitivas se

fundamentan en términos precisos que, junto con cierta profundización en los conceptos,

se presentan en el apéndice 2. El apéndice 2 proporciona una prueba conveniente para verificar

si una función de dos variables es cóncava, convexa o ninguna de las dos.

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